Περιεχόμενο
Η σύγχρονη κατανόηση της καρδιανότητας προέρχεται από το έργο του Georg Cantor στη δεκαετία του 1890. Τα σύνολα μπορούν να έχουν τρεις τύπους καρδινάλων: πεπερασμένοι, μετρήσιμοι και αμέτρητοι. Τα πεπερασμένα σύνολα μπορούν να έχουν έναν συγκεκριμένο αριθμό, όπως η καρδιανότητα τους: ο αριθμός των αντικειμένων στο σετ. Και τα δύο μετρήσιμα και αμέτρητα σύνολα είναι άπειρα. Ο Cantor ήταν ο πρώτος μαθηματικός που επεσήμανε ότι το χαρακτηριστικό ενός άπειρου συνόλου είναι ότι μπορεί να τοποθετηθεί σε μία αλληλογραφία με το δικό της υποσύνολο.
Οδηγίες
-
Δώστε έναν συγκεκριμένο αριθμό για ένα σύνολο καρδιανότητας εάν είναι πεπερασμένο. Για αυτά τα σύνολα, η καρδιανότητα είναι ο αριθμός των αντικειμένων μέσα σε αυτό. Για το άπειρο, είναι αδύνατο να ορίσουμε έναν συγκεκριμένο αριθμό για καρδιαλότητα - μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο μία περιγραφική λέξη. Ένα υποσύνολο ενός συνόλου είναι ένα που περιέχει μερικούς - αλλά όχι όλους - τους καθορισμένους αριθμούς, αλλά κανένας που δεν βρίσκεται μέσα σε αυτόν. Για παράδειγμα, ένα υποσύνολο γραμμάτων στο πορτογαλικό αλφάβητο είναι τα γράμματα στη λέξη "μπανάνα". Για τα πεπερασμένα σύνολα, τα σωστά υποσύνολα είναι μικρότερα από το σετ. Αυτό δεν ισχύει για άπειρα σύνολα.
-
Ξεκινήστε με ένα συγκεκριμένο στοιχείο του σετ και κρατήστε για πάντα, με έναν συγκεκριμένο τρόπο, την απαρίθμηση όλων των στοιχείων ενός σετ. Αυτός είναι ο ορισμός της λογιστικής για ένα άπειρο σύνολο. Το βασικό χαρακτηριστικό είναι ότι υπάρχει ένας αλγόριθμος για την καταγραφή όλων των στοιχείων αιώνια. Το αρχετυπικό μετρήσιμο άπειρο σύνολο είναι αυτό των ακεραίων. Ξεκινήστε με "ένα" και συνεχίστε με τον επόμενο διαδοχικό αριθμό. Δεν μπορείτε να δώσετε έναν αριθμό καρδιανότητας, θα πείτε μόνο ότι είναι αιώνια. Σημειώστε ότι για κάθε ακέραιο υπάρχει ένας αντίστοιχος ζυγός αριθμός που θα είναι διπλάσιος. Υπάρχουν πολλοί ακέραιοι αριθμοί με αμέτρητους αριθμούς. Υπάρχει μια αντιστοιχία ενός προς ένα μεταξύ του σετ και ενός σωστού υποσυνόλου αυτού του συνόλου.
-
Συγκρίνετε ένα σύνολο με τους αριθμούς μεταξύ μηδέν και ένα, για να δείτε αν είναι αμέτρητες άπειρες. Δεν μπορείτε να αρχίσετε να τα μετράτε επειδή δεν υπάρχει "επόμενος" αριθμός μετά από έναν αριθμό μεταξύ μηδέν και ένα. Ο Cantor έδωσε ένα παράδειγμα για να βοηθήσει με την διαισθητική κατανόηση των αμέτρητων συνόλων: σημεία και γραμμές. Τα σημεία δεν είναι μακρά ή ευρεία, ακόμη και αν μια γραμμή αποτελείται από σημεία. Αν οι γραμμές είναι ένα άπειρο των σημείων, το μήκος γραμμής θα είναι 0 + 0 + 0 και ούτω καθεξής, για πάντα. Οι γραμμές πρέπει να έχουν έναν αμέτρητο αριθμό σημείων.
Πώς
- Η δοκιμή Cantor είναι να δούμε αν δύο σύνολα έχουν την ίδια καρδιακότητα, αν τα στοιχεία του σετ μπορούν να ταιριάξουν το ένα με το άλλο.
Ανακοίνωση
- Η αριθμητική θα λειτουργεί μόνο για πεπερασμένα σύνολα. Αν το Ν είναι μετρήσιμο και απεριόριστο άπειρο, Ν + 1 = 200Ν = Ν + Ν = Ν.