Πώς να υπολογίσετε ένα τρίγωνο 30-60-90

Περιεχόμενο

• Οδηγίες
• Πώς
• Ανακοίνωση

Ένα τρίγωνο κλίμακας με τις γωνίες στους 30, 60 και 90 βαθμούς είναι, εξ ορισμού, ένα τρίγωνο, επειδή μία από τις γωνίες έχει 90 μοίρες, δηλαδή είναι ορθή γωνία. Τέτοια τρίγωνα είναι πολύ κοινά στις οδηγίες τριγωνομετρίας, οπότε είναι ενδιαφέρον να γνωρίζουμε τόσο τα μήκη των πλευρών αυτού του τύπου τριγώνου όσο και το πώς μπορεί να εξαχθεί.

Οδηγίες

Δύο τριγωνικά μεγέθη 30-60-90 μοίρες στην πλάτη του άλλου σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο (εικόνα τριγώνου sephia phospho από τον Unclesam από την Fotolia.com)

1. Προσανατολίστε το τρίγωνο κλίμακας έτσι ώστε η μεσαία πλευρά να είναι οριζόντια από κάτω και η μικρότερη πλευρά να είναι από τα δεξιά. Στη συνέχεια, η γωνία 30 μοιρών θα είναι προς τα αριστερά και η γωνία 60 μοιρών προς την κορυφή. Βρείτε το μήκος της υποτείνουσας με το γράμμα H.

2. Προσδιορίστε το μήκος της μικρότερης πλευράς διαιρώντας το H με το 2. Καθορίστε το μήκος της κάτω πλευράς πολλαπλασιάζοντας το H με √3 / 2. Εναλλακτικά, βρείτε το μήκος της κάτω πλευράς πολλαπλασιάζοντας τη βραχύτερη πλευρά με το √3, το οποίο μπορεί να είναι πιο εύκολο να θυμηθεί από τον αριθμό √3 / 2.

3. Προσδιορίστε το H εάν μία από τις άλλες πλευρές βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τη βραχύτερη πλευρά κατά 2 ή πολλαπλασιάζοντας την πλευρά μέσου μήκους κατά 2 / √3. Φυσικά, εάν γνωρίζετε ήδη δύο πλευρές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε το τρίτο, επειδή είναι ένα σωστό τρίγωνο.

   
   

4. Αποκτήστε από όπου προέρχονταν οι προηγούμενοι αριθμοί: Τοποθετήστε δύο τρίγωνα 30-60-90 μοίρες το ίδιο μέγεθος δίπλα-δίπλα, με το διάμεσο μήκος να χτυπάει στη μέση και τις μικρότερες πλευρές να σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή προς τα κάτω. Σημειώστε ότι αυτά τα δύο τρίγωνα σχηματίζουν τώρα ένα τρίγωνο με όλες τις γωνίες ίσες με 60 μοίρες. Το τρίγωνο είναι τώρα ισόπλευρο. Δεδομένου ότι όλες οι γωνίες είναι ίσες, τα μήκη είναι τα ίδια. Επομένως, οι τρεις πλευρές έχουν μήκος H. Σημειώστε ότι η κάτω πλευρά είναι μήκους H. Επειδή η κάτω πλευρά αποτελείται από δύο βραχύτερες πλευρές, η βραχύτερη πλευρά ενός τριγώνου γωνιών 30-60-90 είναι H / 2. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, η διάμεση πλευρά πρέπει να είναι H√3 / 2.

Πώς

• Οι πλευρές ενός τριγώνου κλίμακας με μήκος υποταινού σε 1 συχνά εμφανίζονται στις ασκήσεις τριγωνομετρίας. Αν τοποθετήσετε το τρίγωνο μέσα σε ένα κύκλο έτσι ώστε η μικρότερη πλευρά να αγγίζει τον θετικό άξονα x και η υποτείνουσα του μήκους 1 εκτείνεται από την προέλευση στον κύκλο, το σημείο τομής στον κύκλο έχει μια συντεταγμένη x 1/2 √3 / 2. Αυτά είναι το ημίτονο και το συνημίτονο των 30 βαθμών. Αν το τρίγωνο είναι γυρισμένο κατά τέτοιο τρόπο ώστε το διάμεσο μήκος να κείται στον θετικό άξονα x, το σημείο τομής του κύκλου έχει μια συντεταγμένη x √3 / 2 και y του 1/2. Λέγεται ότι το συνημίτονο των 60 βαθμών είναι 1/2 και το ημίτονο 60 μοιρών είναι √3 / 2. Με παρόμοιο σκεπτικό, το ημίτονο και το συνημίτονο των 45 βαθμών είναι √2 / 2 = 1 / √2 επειδή ένα τρίγωνο γωνιών 45-45-90 με την υποτείνουσα έχει πλευρές στο μήκος του 1 / √2. Σημειώστε ότι καθώς περνάτε από 30 σε 45 έως 60 μοίρες, το συνημίτονο μειώνεται από √3 / 2 σε √2 / 2 σε √1 / 2 (= 1/2) και το ημίτονο αυξάνει από √1 / 2 σε √2 / 2 έως √3 / 2. Αυτό το μοτίβο δημιουργεί ένα ενδιαφέρον μνημονικό για τους αριθμούς που συζητούνται στα βήματα 1, 2 και 3.

Ανακοίνωση

• Μην συγχέετε το τρίγωνο που συζητήσαμε παραπάνω με ένα ευθύγραμμο τρίγωνο των πλευρών 3-4-5, το οποίο έχει έναν απλό λόγο πλευρικής πλευράς, αλλά δεν έχει τις ίδιες γωνίες με το τρίγωνο 30-60-90 βαθμών.